Fermat, magistrat de son état, était passionné de mathématiques, d'arithmétique surtout, et il a toujours eu beaucoup d'amis fanatiques eux aussi de mathématiques. C'est dans une lettre à l'un d'eux, Bernard Frenicle de Bessy, mathématicien, astronome, mécanicien, mais aussi spécialiste de théorie des nombres et de combinatoire, qu'il dévoila pour la première fois, le 18 octobre 1640, l'énoncé à qui on donnera par la suite le nom de petit théorème de Fermat. Le résultat a depuis fait son chemin et trouvé des applications jusqu'à aujourd'hui.
D'abondantes explications
« Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances – 1 de quelque progression que ce soit, et l'exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre donné – 1 ; et, après qu'on a trouvé la première puissance qui satisfait à la question, toutes celles dont les exposants sont multiples de l'exposant de la première satisfont à la question. » Tel est l'énoncé écrit de la main de Fermat à son ami (voir en encadré)…
L'exégèse du texte de Fermat.
Dans le souci d'éclairer ses affirmations, Fermat donne aussitôt quelques exemples. Il choisit comme « progression » celle des puissances de 3, dont il donne la liste : 3, 9, 27, 81, 243, ...
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