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La formule de Héron frappe les esprits par sa simplicité. Elle est d'autant plus étonnante qu'elle permet d'établir de manière très efficace d'autres résultats tout aussi esthétiques. Elle débouche même sur d'autres problèmes de géométrie passionnants !


Prenez un bout de ficelle. Chacun en a fait l’expérience, la plus grande surface que l’on puisse délimiter avec une ficelle de longueur donnée est un disque. Qu’en est-il si l’on tend cette ficelle entre trois piquets ? Dit autrement, quel est le triangle de périmètre donné dont l’aire est la plus grande ?

Intuitivement, on peut penser que, pour des raisons de symétrie, c’est le triangle équilatéral qui satisfait à cette condition. Le démontrer semble bien plus difficile. Et pourtant, la formule de Héron permet de s’en sortir à moindres frais !


Et rond, et rond…

Considérons donc un triangle de côtés a, b et c et notons p son demi-périmètre et S son aire. L’inégalité arithmético-géométrique indique que, pour trois nombres positifs x, y et z donnés, on a 

avec égalité si, et seulement si, x = y = z.

Appliquons donc cette inégalité à x = p - a, y = p - b et z = p - c

On a alors x ... Lire la suite


références

- Dossier « Le théorème de Pythagore ». Tangente 172, 2016.
- Dossier « Calculs astucieux de périmètres, d'aires et de volumes ». Tangente 154, 2013 - Le cercle. Bibliothèque Tangente 36, 2009.
- Le triangle. Bibliothèque Tangente 24, 2005.
- Les angles. Bibliothèque Tangente 53, 2015.
- Les algorithmes. Bibliothèque Tangente 37, 2013.