Le Héron de l'espace

Une « formule de Héron » en 3D par Euler

Comme c’est le cas pour le triangle dans le plan, un tétraèdre est entièrement déterminé par la longueur de ses six arêtes. Aussi, existe-t-il une formule analogue à celle de Héron pour le tétraèdre ?

Oui, et c’est le grand mathématicien suisse Leonhard Euler (1707–1783), s’inspirant apparemment de travaux de Tartaglia à la Renaissance, qui a mis à jour une telle formule pour un tétraèdre. Dans cette relation, a, b, c, d, e et f sont les longueurs respectives des arêtes du tétraèdre, l’arête a étant opposée à e, l’arête c à d et l’arête b à f. Le volume du tétraèdre (analogue à l’aire du triangle dans le cas du plan) est noté V. On a donc :

12² V² = (a ²e ² + b² f  ² + c ²d ²)(a ² + b ² + c ² + d ² + e ² + f  ²) – 2(a ²e ²(a ² + e ²)
+ b ²f  ²(b ² + f  ²)+ c ²d ²(c ² + d ²)) – (a ²b ²d ² + a ²c ²f  ² + b ²c ²e ² + d ²e ²f  ²).

On ne peut qu’admirer la puissance de travail légendaire et l’intuition du grand Euler, qui lui ont sans doute permis de trouver une telle formule à une époque où les seuls outils du mathématicien ... Lire la suite gratuitement