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Joseph Louis François Bertrand (1822-1900) est connu pour ses travaux en analyse. On sait moins qu'il publia en 1889 un remarquable ouvrage sur le calcul des probabilités (voir Tangente 180).


 

 

Le paradoxe des coffrets


Trois coffrets sont d’apparence identique. Chacun a deux tiroirs, chaque tiroir contient deux médailles. Celles du premier coffret sont en or ; celles du deuxième coffret, en argent ; le troisième coffret contient une médaille en or et une en argent. On choisit un coffret ; quelle est la probabilité pour trouver dans ses tiroirs une pièce d’or et une pièce d’argent ?
« Un cas seulement est favorable, la probabilité est donc 1/3 » constate le mathématicien. Il propose alors un autre raisonnement, bien sûr fallacieux : le coffret est choisi, on ouvre un tiroir. Quelle que soit la médaille trouvée, deux cas sont possibles. Le tiroir fermé contient soit une médaille d’or, soit d’argent. Sur ces deux cas, un seul est favorable ; la probabilité serait donc d’un demi. Bertrand précise : « Comment croire, cependant, qu’il suffira d’ouvrir un tiroir pour changer la probabilité de 1/3, et l’élever à 1/2 ? »
La ficelle est grosse mais on sait combien le problème de Monty Hall (voir en page 28), assez analogue et habilement posé, a fait couler beaucoup d’encre. On s’y ramène en remarquant que, une fois le tiroir ouvert, contenant par exemple ... Lire la suite gratuitement