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Des « trucs » géométriques pour calculer


André Deledicq

L'esprit humain a souvent besoin d'une représentation concrète des concepts abstraits. C'est ainsi que la géométrie peut servir à aider au calcul. Descartes fut l'un des premiers à le mettre en évidence.


En calcul mental, certaines images mentales, relatives aux nombres et aux opérations, s’avèrent parfois très efficaces. Pour la multiplication, l’une de ces images est le rectangle. Déjà, dans les Éléments d’Euclide, un segment représente une longueur et un rectangle le produit de deux nombres.

 

Multiplier par la méthode du rectangle



Imaginez la figure ci-contre, représentant l’addition de deux nombres, à la manière « vectorielle » :

 

Un petit calcul va nous mener à une belle utilisation de ce rectangle pour leur multiplication :

(P + a) (P + b) = P2 + Pa + Pb + ab = P (P + a + b) + ab.
Ainsi, pour calculer le produit (P + a) (P + b), on peut plutôt ajouter ab au produit

P (P + a + b) !
Quand cela peut-il nous servir ?
Lorsque P est un nombre simple, plutôt rond, et que a et b sont plutôt petits !
On ramène ainsi la multiplication des nombres entre 10 et 20 aux tables de multiplication classiques… Par exemple, pour calculer 14 × 18, pensez au rectangle :

 

Et vous calculez plutôt 10 × 22 + 4 × 8, soit 220 + 32. Résultat : 252 !

La méthode se généralise lorsque les facteurs sont proches d’un nombre P, appelé « pivot » (entouré dans les figures). Soit, par exemple, à ... Lire la suite


références

* Ce texte de Descartes est extrait du "petit classique Kangourou" Descartes, la géométrie. Les textes y sont accompagnés d'une "aide à la lecture" et de commentaires.