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Voitures autonomes et dix-septième problème de Hilbert


Jean-Louis Legrand

Les mathématiques classiques du XIX e siècle se combinent désormais avec les plus récentes mathématiques computationnelles ! Concrètement, les fonctions rationnelles sont convoquées pour permettre aux (futures) voitures autonomes de rouler en toute sécurité…


En 1900, lors du deuxième congrès international des mathématiciens, le mathématicien allemand David Hilbert présenta à Paris une liste de vingt-trois problèmes qui tenaient alors les mathématiciens en échec. Ces défis marquèrent effectivement le cours des mathématiques du XXe siècle. Le dix-septième problème demandait si « toute fonction rationnelle ne prenant que des valeurs positives est une somme de carrés de fonctions rationnelles ». Pour faire simple, disons que pour cet article une fonction rationnelle est une application de dans qui à la variable x associe une expression qui ne fait intervenir que les « quatre opérations élémentaires ». 

Ainsi,  f (x) = (3x + 7 – 1) / (x 2– 3+ 1) est une fonction rationnelle.

Le dix-septième problème de Hilbert a été résolu en 1927 par Emil Artin dans le cas particulier des « corps réels clos ». Il a ensuite été l’objet de développements étonnants, dont le théorème de Hasse–Minkowski, souvent appelé principe local–global. Celui-ci s’évertue en effet de reconstituer une information sur un objet global à partir d’informations sur des objets locaux associés, censées être plus faciles à obtenir.

C’est là qu’arrivent les voitures ... Lire la suite