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Géométrie de la mesure


De l'exhaustion aux indivisibles

François Lavallou

Depuis l'arpentage des terres inondées par le Nil, la notion de mesure a suivi, du concret à l'abstrait, une longue évolution, initiée par Archimède. Pour cela, il fallut maîtriser la notion d'infini.


Hérodote attribue l’origine de la géométrie au partage de terres gagnées sur des marais, drainés et canalisés sous le règne du pharaon Sésostris II. La géométrie est alors entendue sous son sens étymologique d’arpentage, les connaissances acquises n’étant qu’empiriques. Il faut attendre le génie grec pour que des démonstrations soient établies. Au début du VIe siècle avant notre ère, Thalès de Milet avait échoué à appliquer ses techniques mathématiques sur une figure non rectiligne. Au siècle suivant, dit siècle de Périclès, l’orateur Antiphon considérait le cercle comme un polygone régulier d’une infinité de côtés. Cette vision de l’infini était trop en avance sur son temps et n’eut pas d’écho.

 

Un infini implicite

 

Par principe, les Grecs excluaient l’infini car il ne peut « entrer » dans aucun raisonnement. Cette notion se limitait à la simple possibilité de poursuivre un processus opératoire pouvant être itéré sans limitation. C’est ainsi qu’Hippias d’Élis établit vers –430 la méthode de construction de la quadratrice, dite de Dinostrate, en un nombre infini d’étapes. L’idée d’Antiphon fut néanmoins reprise par Euclide, qui encadra le cercle par des polygones réguliers circonscrits et inscrits au cercle et en déduisit que l’aire du ... Lire la suite


références

 Dossier « Archimède ». Tangente 150, 2013.
 Archimède, un génie intègre. François Lavallou, Suites et séries, Bibliothèque Tangente 41, 2011.
 Dossier « Calculs astucieux de périmètres, d'aires et de volumes ». Tangente 154, 2013.
 Notice historique sur la géométrie de la mesure.
A. Aubry, Journal de mathématiques élémentaires 5 (21), 1897.