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C'est un plaisir de l'oeil de voir certaines figures géométriques présentant de nombreuses droites habilement placées et le long desquelles s'enlace une jolie courbe qui semble effleurer chacune d'entre elles. Quelle théorie mathématique se dissimule derrière ? C'est celle des enveloppes de droites.


Entre 1620 et 1670, les plus prestigieux mathématiciens, comme René Descartes, Pierre de Fermat ou John Wallis, ont cherché à établir une méthode pour déterminer l’équation de la tangente à une courbe. L’introduction du calcul différentiel par Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz à la fin du XVIIe siècle a résolu ce problème de manière magistrale. On s’est aussitôt posé le problème inverse : étant donnée une famille de droites, peut-on trouver une courbe qui les admette toutes pour tangente ?

De la géométrie à l’analyse

Prenons un exemple géométrique simple. Considérons des axes rectangulaires (Ox) et (Oy)

et faisons glisser un segment [AB] de longueur a tel que A soit sur l’axe (Ox) et B sur (Oy) :

on voit apparaître une courbe dont toutes les droites, obtenues en prolongeant ces segments, sont les tangentes.

Ces droites ont pour équation x cos t + sin t = 5 sin 2 t. 

 

 

Après résolution (voir FOCUS), on obtient une astroïde, d’équation paramétrique Lire la suite