Dans sa très belle autobiographie, le grand physicien du XXe siècle Richard Feynman raconte que, lorsqu’il était étudiant, il fit un jour la farce mathématique suivante. Quelqu’un avait posé la question de savoir si la forme d’un trace-courbe pouvait être décrite d’une manière mathématique. « Bien sûr ! répondit-il facétieusement. Ces courbes sont très spéciales. Elles sont faites de sorte que, à leur point le plus bas, quelle que soit la manière dont on la tourne, leur tangente est horizontale. » Et les autres étudiants de s’extasier devant cette propriété soi-disant unique…
Le mariage d’une courbe et d’une droite
Ce que Feynman savait, mais que curieusement les autres étudiants du Massachusetts Institute of Technology ignoraient, c’est que la tangente est horizontale au point le plus bas de n’importe quelle courbe un tant soit peu « lisse ». Une définition rudimentaire de la notion de tangente en un point d’une courbe suffit à s’en persuader. Donnons-nous une courbe C quelconque et « suffisamment régulière » (notion à définir précisément selon le contexte), ainsi qu’un point A sur cette courbe. La tangente à C en A est la droite qui épouse « le mieux » la forme de la courbe au voisinage du point A. Si l’on imagine que C est la forme d’une ...
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