Premières curiosités
Les mathématiciens, avant le XIXe siècle, n’étaient guère attirés par ces fonctions d’exception. Leonhard Euler, cependant, toujours très imaginatif, s’était pris à étudier celle définie par
,
avec plusieurs exposants superposés, qu’il nommait « exponentielle répliquée ». On la retrouve dans son manuscrit De formulis exponentialibus replicatis, avec l’expression
.
Après des débuts très numériques, où il pose r α = β, puis r β = γ, r γ= δ… et calcule ses valeurs particulières, il poursuit avec des cas de plus en plus compliqués, résolus en passant au logarithme. Il qualifie les résultats obtenus de « phénomènes merveilleux » et échange à leur sujet avec le marquis de Condorcet.
L’exponentielle répliquée d’Euler.
La fonction « partie entière »
L’une des fonctions les plus simples à présenter de nombreuses discontinuités est la fonction partie entière (ou floor function), qui associe à tout réel x le plus grand entier E (x ) inférieur ou égal à x. Ainsi, pour tout x appartenant à l’intervalle [n, n + 1[, E (x Lire la suite gratuitement