N étant un entier naturel différent de zéro, on définit l’algorithme suivant : on remplace N par le nombre N’ obtenu en additionnant les carrés de ses chiffres, puis on recommence avec N’, et ainsi de suite.
Par exemple, partant de N = 27, on définit N’ ainsi : N’ = 22 + 72 = 53. On recommence avec N’ pour obtenir N’’ = 52 + 32 = 34. On construit alors la suite 27, 53, 34…
Cette succession de nombres est appelée ici chaîne. On dit qu’une chaîne boucle si l’on retrouve, au bout d’un certain nombre d’opérations, l’un des nombres déjà obtenus.
1) Si N est un entier à un chiffre, vérifier que les dix chaînes obtenues bouclent.
2) Prendre un nombre N à trois chiffres et lui appliquer l’algorithme. Que remarque-t-on ?