L'introduction du calcul différentiel par Isaac Newton date de 1666, même si ce n'est que plus tard qu'il publie ses découvertes. Après un demi-siècle, son compatriote Brook Taylor tente d'approximer des fonctions au voisinage de 0 et affirme que, pour x proche de 0, f(x) = f (0) + x f '(0) + x2f ''(0) / 2… À l'époque, on ne s'embarrassait pas de préciser que f était plusieurs fois dérivable ou de donner la signification des petits points : cela voulait-il dire qu'ils représentent une quantité négligeable, ou bien que l'on tend vers l'égalité en ajoutant de plus en plus de termes ?
La théorie des séries entières développée par la suite permet de préciser des conditions suffisantes pour obtenir une telle égalité en prolongeant la somme à l'infini (on dit que la série converge).
De Taylor à de Moivre
On sait que la fonction exponentielle est sa propre dérivée. On peut donc en déduire qu'elle est indéfiniment dérivable, et que pour tout x sa dérivée nème est f (n)(x) = exp (x). Admettons, et c'est le cas, que Taylor ait raison pour cette fonction particulière. Alors
On peut donc définir la fonction exponentielle ainsi : la somme de 0 à n des termes xn / n! admet une limite lorsque n tend vers l'infini ; on la note exp (x). Cette ...
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