Souvenir de première : l’équation du second degré possède deux solutions réelles, éventuellement confondues, si son discriminant est positif ou nul. Mais, à la lecture de l’énoncé d’un problème, il n’est pas toujours facile de détecter le polynôme du second degré qui fournira la solution à la question posée.
Voici une petite énigme issue de la vie quotidienne. Régine et Christophe ensemble font le ménage de leur petit appartement en trente-six minutes. Plus soigneuse, Régine seule met une demi-heure de plus que Christophe seul. Combien de temps met-elle ?
Appelons t la durée demandée en minutes, R et C les « vitesses » respectives de nos deux compères ; on obtient 36(R + C) = (t – 30)C, égalité qui s’écrit aussi 36(R/C + 1) = (t – 30).
Par ailleurs, t R = (t – 30)C donne R/C = (1 – 30/t). On en déduit 36(2 – 30/t) = (t – 30), soit
t 2 – 102 t + 1 080 = 0, qui admet deux solutions, 12 et 90. Comme t est supérieur à 30, Régine seule met une heure et demie (t = 90) pour faire le ménage de l’appartement.
Cercle inscrit et cercle circonscrit
La géométrie elle aussi fait bon ménage avec l’algèbre. Selon la notation usuelle, soient respectivement r ...
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