Le 22 novembre 2021 est un lundi. Mais quel jour de la semaine fêtera-t-on Noël en 2021 ?
Et en 2022 ? Il est clair que les restes de 30, 31 ou 365 dans la division par 7 vont jouer un rôle fondamental dans la réponse à ces questions. Nous ne vous ferons pas l’affront de vous détailler le calcul.
Mais ce qui en ressort, c’est que l’approche par les restes va aussi bien être efficace pour des problèmes de la vie quotidienne que pour des résultats profonds de théorie des nombres.
Ensembles quotients et congruences
Pour étudier certaines propriétés des nombres entiers, il suffit parfois de ne s’intéresser qu’à leur reste dans la division par un certain entier n. Et si, au lieu de considérer l’ensemble infini des entiers relatifs, on se contentait de l’ensemble de leurs n restes possibles ? Aussitôt dit, aussitôt fait, ainsi est né l’ensemble
/n
, un ensemble de n éléments, appelé ensemble quotient, qui s’avère faciliter considérablement l’obtention de certains résultats.
D’où vient cette simplification ? De deux propriétés simples mais fondamentales, la conservation des restes après les opérations d’addition et de multiplication.
Ainsi, le reste de a + b dans la division ...
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