Dans la vie de tous les jours, les applications de la notion de convexité sont multiples. L’une des situations les plus élémentaires dans lesquelles cette notion apparaît en économie est celle de la théorie du consommateur. Dans notre monde, une très grande quantité de biens et de services sont disponibles. Il est donc parfois difficile d’y opérer une sélection. Pour chaque consommateur, le choix est différent : il est fonction de ses envies, de ses préférences, qu’il importe de déterminer plus ou moins rationnellement. Mais les envies du consommateur ne sont pas seules en cause. Ses choix de consommation seront aussi déterminés par certaines contraintes. Tous les produits ne sont pas disponibles à volonté, et surtout, chaque consommateur dispose d’un budget b forcément limité. À partir de ces constatations, une modélisation mathématique du problème est possible.
Les « paniers » des consommateurs
Supposons qu’il existe exactement n biens et services disponibles sur le marché. Chacun l’est en quantité limitée, ce qui détermine l’existence d’un sous-ensemble X de ℝn, représentant l’ensemble des « paniers » souhaités par les consommateurs, lesquels sont représentés par des suites x = (x1, x2… xn), dans la limite des quantités disponibles de chaque bien, naturellement.
Cet ensemble est naturellement convexe. En effet, pour chaque ...
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