David Hilbert, lors du deuxième congrès des mathématiciens qui s’est tenu à Paris durant l’été 1900, a présenté une liste de questions de recherche importantes pour lui. Celle liste comporte vingt-trois problèmes, issus de tous les domaines : algèbre, géométrie et analyse.

Une question d’intersection de courbes

Le treizième concerne la résolution algébrique des équations et, plus particulièrement, de la détermination des racines par des techniques de nomographie, c’est-à-dire comme intersection de réseaux de courbes. Cela est possible si les racines peuvent s’exprimer comme composées de fonctions continues d’au plus deux variables.

Prenez une équation quelconque de degré 2, ax 2 + bx + c = 0, avec a ≠ 0. Ses solutions, données par  peuvent s’exprimer de la sorte.

En effet, si l’on pose  et h (x, y) = xy, l’une des deux solutions s’exprime comme f ( g (b, h ( a, c)), a) ; il en est de même pour l’autre.

À l’aide des formules donnant les solutions d’une équation de degré 3 (voir encadré
« L'équation de degré 3 à la sauce italienne » dans l'article « Avant Abel et Galois »), on se convainc que la méthode s’applique aussi au degré 3 : les solutions peuvent s’exprimer comme composées de fonctions d’au plus deux variables prises parmi les coefficients de l’équation. En fait, comme l’a montré le mathématicien allemand Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (1651—1708), ce résultat est vrai pour les équations de degré inférieur ou ... Lire la suite