Pour débuter l’une de ses conférences de vulgarisation, devant un vaste public de lycéens, le célèbre médaillé Fields Cédric Villani abordait la question récurrente de savoir « à quoi servent les maths ». Il répondait en substance que la science mathématique est un outil absolument remarquable, qui n’est pas naturel, qui a été inventé et développé pour décrire et comprendre le monde, ainsi que pour agir sur lui. Il s’agit, avant tout, d’un outil pour résoudre des problèmes, comme c’est le cas pour les autres sciences. De plus, en mathématiques, on travaille selon des règles bien définies (de logique) et des critères précis (esthétiques, artistiques…).
Les théories mathématiques sont élaborées en résolvant des problèmes qui peuvent être théoriques ou pratiques, internes aux mathématiques ou soulevés par des situations concrètes. L’un des problèmes « internes » emblématiques, qui s’est posé très tôt dans l’histoire de l’humanité et qui a été abordé par de nombreux grands savants des siècles antérieurs, concerne le concept de tangente à une courbe. Penchons-nous sur un point particulier de cette problématique en nous restreignant au cas de courbes planes supposées « régulières ». Il s’agit d’étudier comment une telle courbe s’« écarte » de l’une de ses tangentes au voisinage du point de tangence considéré.