L’univers de Pierre de Fermat (vers 1605‒1665) est riche de résultats arithmétiques touchant pour beaucoup aux équations diophantiennes.
Un éventail de questions arithmétiques
« Qu’il n’y a aucun nombre, moindre de l’unité qu’un multiple de 3, qui soit composé d’un quarré et du triple d’un autre quarré. »
« Qu’il n’y a aucun triangle rectangle en nombres dont l’aire soit un nombre quarré. »
« Il n’y a aucun cube divisible en deux cubes. »
« Tout nombre non quarré est de telle nature qu’il y a infinis quarrés qui, multipliant ledit nombre, font un quarré moins un. »
Telles sont quelques affirmations arithmétiques de Fermat. On les trouve dans sa lettre au mathématicien Pierre de Carcavi (vers 1603 ‒1684) d’août 1659 intitulée Relation des nouvelles découvertes en la science des nombres ou, avec éventuellement certaines variantes, dans une lettre de 1657 au philosophe britannique Kenelm Digby (1603 ‒1665), et dans une autre en 1654 à Blaise Pascal (1623 ‒1662). On dénombre plus de dix questions de ce type (selon Fermat, un « abrégé de tout ce que j’ai inventé de considérable aux nombres »).
Fermat travaille ces sujets depuis longtemps comme un ensemble relié. Dès septembre 1636, il écrit à Marin Mersenne (1588 ‒1648) une proposition englobante : « Tout nombre est composé d’un, de deux ou de trois triangles ; d’un, de ...
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