Et si c'était faux ?

Les triangles sphériques

Le théorème de Pythagore est vrai dans le plan, on s'en convainc facilement. Mais mettons-nous dans la peau d'un navigateur traversant des océans parfaitement calmes. Le plus court chemin pour relier deux points du globe n'est pas la ligne droite mais un arc de cercle de même centre que la sphère (dont on peut fixer le rayon à une unité pour simplifier). Ces droites permettent de construire des triangles sphériques et quelques formules offrent le loisir de déterminer les longueurs des côtés. Mais là, stupeur ! L'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée (voir Tangente 151, 2013) : on peut construire des triangles (sphériques) équilatéraux à trois angles droits. Alors, pont aux ânes, le théorème de Pythagore ? Heureusement, il en existe une version sphérique : si ABC est rectangle en C, alors

Une caractérisation des géométries

Les triangles rectangles en disent long sur l'espace dans lequel on travaille. On peut démontrer que le théorème de Pythagore est en fait équivalent au célèbre axiome des parallèles, caractéristique de la géométrie euclidienne et qui stipule que par un point donné, il ne passe qu'une seule droite parallèle à une droite donnée.
Si on suppose que par un point donné il ne passe non pas une seule droite mais plus d'une droite parallèles à une droite donnée, alors l'égalité du théorème de Pythagore devient AB² > AC² + BC².
Observez maintenant les grands cercles de la sphère (ceux qui ont le même diamètre que la sphère). Ils se croisent tous. En géométrie sphérique, par un point il ne passe donc aucune droite parallèle à une droite donnée. Ici, l'égalité de Pythagore devient AB² < AC² + BC².
Le sens de l'inégalité est en fait lié à la géométrie utilisée, et en particulier à sa courbure. L'égalité n'a lieu que dans le cas d'une géométrie à courbure nulle, comme dans le plan. Une analyse fine des formules qui remplacent celle de Pythagore dans le cas des géométries sphérique et hyperbolique montre cependant que, localement, pour de « petits » triangles, l'égalité n'est pas loin d'être vérifiée : ces géométries sont alors bien approchées par la géométrie euclidienne.

Les triangles hyperboliques

La démarche suivie sur la sphère s'adapte à d'autres surfaces. Considérons ainsi l'espace de Minkowski, très utile en relativité restreinte. Nous nous promenons ici sur une nappe d'hyperboloïde (une surface de révolution obtenue par rotation d'une branche d'hyperbole) sur laquelle on dispose d'une certaine formule pour calculer les distances.

Dans ce cadre aussi on peut dessiner des triangles rectangles… mais le théorème de Pythagore n'est plus vrai ! Là encore, on dispose également d'un beau résultat, qui n'est d'ailleurs pas sans rappeler celui de la géométrie sphérique : si ABC est rectangle en C, alors 

où cosh est la fonction cosinus hyperbolique, définie par