Le barbier était une femme


Séverine Verneyre et Karim Zayana

On dit du paradoxe du barbier qu’il permet de briller en société. S’il poursuit un but didactique en illustrant l’un des résultats les plus fondamentaux de la théorie des ensembles, il risque cependant, sorti de son contexte, de se retourner contre vous !

C’est en classes de spécialité de première et de terminale que les lycéens formalisent les concepts de bijection et de cardinal. En comptant les parties d’un ensemble H à n éléments, et sachant que 2n > n, ils tiennent pour vain de mettre en bijection H et l’ensemble de ses parties. Autrement dit, ils concluent à ce que H et P(H) ne sont pas équipotents (voir article « Un voyage dans l'infini »).

Ce cap franchi, il est bienvenu d’aller un peu plus loin en prouvant le même résultat avec un ensemble H quelconque, potentiellement infini. L’intérêt est pluriel : découvrir le génie d’une démonstration aussi courte et simple qu’elle en est miraculeuse ; remonter les traces de Cantor et de son siècle ; caresser une première fois l’échelle vertigineuse des infinis ; réfléchir à l’hypothèse du continu…

 

Un raisonnement par l’absurde

 

Il est toujours possible d’injecter un ensemble H quelconque dans l’ensemble de ses parties, ne serait-ce qu’en associant à chaque élément h de H le singleton {h}. Par contre, on ne trouvera jamais de surjection (et a fortiori de bijection) de H sur P(H). Pour établir ce théorème, dont il a l’intuition et qu’il énonce, Cantor va d’abord… le nier. Il considère donc une ... Lire la suite gratuitement


références

Juste assez de maths pour briller en société. Tony Crilly, Dunod, 2008.
Une multitude irrationnelle. Karim Zayana, CultureMath, 2022, disponible en ligne.
Dossier « Bertrand Russell ». Tangente 206, 2022.