C’est en classes de spécialité de première et de terminale que les lycéens formalisent les concepts de bijection et de cardinal. En comptant les parties d’un ensemble H à n éléments, et sachant que 2n > n, ils tiennent pour vain de mettre en bijection H et l’ensemble de ses parties. Autrement dit, ils concluent à ce que H et P(H) ne sont pas équipotents (voir article « Un voyage dans l'infini »).
Ce cap franchi, il est bienvenu d’aller un peu plus loin en prouvant le même résultat avec un ensemble H quelconque, potentiellement infini. L’intérêt est pluriel : découvrir le génie d’une démonstration aussi courte et simple qu’elle en est miraculeuse ; remonter les traces de Cantor et de son siècle ; caresser une première fois l’échelle vertigineuse des infinis ; réfléchir à l’hypothèse du continu…
Un raisonnement par l’absurde
Il est toujours possible d’injecter un ensemble H quelconque dans l’ensemble de ses parties, ne serait-ce qu’en associant à chaque élément h de H le singleton {h}. Par contre, on ne trouvera jamais de surjection (et a fortiori de bijection) de H sur P(H). Pour établir ce théorème, dont il a l’intuition et qu’il énonce, Cantor va d’abord… le nier. Il considère donc une ...
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