Toujours prêt à démontrer des affirmations de son illustre prédécesseur, Euler s’est attaché à prouver ce qu’il considérait comme une généralisation d’une conjecture de Fermat, devenue théorème en 1994 grâce à Andrew Wiles (voir article « La cinquième opération »). Le mathématicien suisse a en effet énoncé :
« Tout comme il n’existe pas de cubes dont la somme ou la différence soit un cube, il est certain qu’il est impossible de trouver trois puissances quatrièmes dont la somme soit une puissance quatrième […]. De la même façon, il semblerait impossible de trouver quatre puissances cinquièmes dont la somme soit une puissance cinquième et de même pour les puissances supérieures. »
L’histoire a prouvé qu’il s’était trompé !
Leonhard Euler (1707‒1783).
Analogies et généralisations hasardeuses
Avancée par Euler en 1769, la conjecture précédente était censée aller plus loin que le grand théorème de Fermat puisqu’elle affirmait que, pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de n – 1 puissances nièmes n’est pas une puissance nième. Euler était pourtant bien parti avec sa démonstration du cas n = 3 du théorème de Fermat : la conclusion s’avère exacte… mais une erreur ...
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