Le nom du mathématicien britannique Edward Waring est associé au problème suivant : un entier n étant donné, tout entier N peut-il s’écrire comme une somme de puissances nièmes d’entiers strictement positifs ? Si oui, quel est le nombre minimal, souvent noté g(n), de puissances nécessaires ?
L’interrogation de Waring fait sans doute suite au théorème des quatre carrés démontré en 1770 par Joseph Louis Lagrange (1736‒1813) : Tout nombre entier N peut s’écrire comme une somme d’au plus quatre carrés d’entiers.
Ainsi, 10 = 32 + 12 par exemple, ou encore 2 023 = 432 + 132 + 22 + 12. Avec la notation précédente, le théorème des quatre carrés de Lagrange se traduit par g(2) = 4.
Edward Waring (1736‒1798).
La course aux valeurs de g (n)
En remarquant que l’entier N = 23 nécessite neuf cubes ( 23 = 2 × 23 + 7 × 13 ) et que l’entier N = 79 nécessite, lui, dix-neuf puissances quatrièmes ( 79 = 4 × 24 + 15 × 14 ), Waring avait émis la conjecture que g (3) = 9 et g (4) = 19. Mais il ne put démontrer ces deux égalités.
C’est le mathématicien allemand David Hilbert (1862‒1943) qui, en 1909, dans une démonstration relativement difficile, établit que tout entier N ≥ 1 peut effectivement s’écrire comme une somme de puissances nièmes d’entiers strictement positifs, pour tout n ≥ ...
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