Quoi de plus élémentaire, de plus universel que la notion de nombre ? Ne vous y fiez pas nous dit Frédéric Patras, la « possibilité des nombres » nous conduit bien au-delà du simple 2 + 2 = 4 et nous plonge au cœur même des mathématiques. Même 2 + 2 = 4, ce n’est pas évident : en admettant que 4 = 3 + 1, il faut passer par d’inévitables intermédiaires. Si 2 est 1 + 1 et 3 est 2 + 1, alors 2 + 2 = 2 + (1 + 1) = (2 + 1) + 1 = 3 + 1, qui est bien égal à 4.
Voilà le problème posé : entre « l’immédiateté des nombres » et leurs enjeux mathématiques, la distance est grande, les chemins parfois détournés. Ce sont eux qu’explore l’auteur, à la fois philosophe et mathématicien, retraçant ici plus l’histoire du concept de nombre que l’histoire des nombres eux-mêmes. On peine parfois à suivre ses raccourcis historiques, mais tout ce qui compte entre mathématique et philosophie est là : Platon et « l’opposition dialectique du un et du multiple », Aristote et sa distinction entre « somme » et « tout », Pythagore et sa mystique du nombre, Euclide et son arithmétique des grandeurs. Le paysage des Anciens contient en filigrane l’évolution de notre regard sur les nombres, et sur les mathématiques en général. Les « modernes », dit l’auteur, suivent la voie : Cauchy, Peano ou Hilbert pour les plus « techniques », Cantor, Frege, Wittgenstein et Gödel pour les plus « philosophes ». Tout en renouvelant les points de vue, ils gardent dans leur pensée et leurs résultats la marque des origines. Ainsi se bâtit la science mathématique, qui se constitue « par cristallisation » autour de quelques problèmes bien posés.
