C’est la crise ! Imaginez, tout ce qu’il vous reste pour faire de la géométrie c’est une vieille règle plate non graduée, dont un seul bord est encore rectiligne. Vous pouvez donc dessiner des droites, toutes les droites que vous voulez… et c’est tout !
Vous ne pouvez tracer ni des parallèles, ni des perpendiculaires. Maintenant, qu’en serait-il si, sur votre feuille de papier rescapée, vous disposiez d’un segment de droite et de son milieu déjà tracés ? Dans ce cas, il devient possible de figurer une droite parallèle à la droite D contenant le segment déjà tracé et passant par un point donné extérieur à D.
Soit un segment [AB]. On appelle I son milieu et P un point n’appartenant pas à (AB). On trace la droite (BP) et on choisit sur cette droite un point C extérieur au segment [BP] sur la demi-droite [BP). On trace ensuite les droites (AC) et (IC), puis le segment [AP], qui coupe (IC) en K. La droite (BK) coupe (AC) en R. Les droites (PR) et (AB) sont parallèles !
Extrait de l’Encyclopédie mathématique d’Alexandre Sarrazin de Montferrier, Amyot, 1859.
Maintenant, supposons que l’on dispose d’un cercle déjà tracé et de deux points A et B diamétralement opposés sur ce cercle. On peut alors tracer une perpendiculaire au diamètre au diamètre (AB) passant par un point fixé P quelconque situé hors du cercle.
On trace les droites (PA) et (PB) qui coupent le cercle respectivement en J et K. On trace les droites (AK) et (BJ) qui se coupent en C. [AB] étant un diamètre du cercle, les angles et
sont droits. Les droites (PK) et (CJ) sont donc deux hauteurs du triangle APC. Or, les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes. On en déduit que (PC) est perpendiculaire à (AB). Au lieu de disposer de deux points diamétralement opposés, on pourrait bien sûr disposer du centre du cercle, ce qui permettrait de tracer un diamètre et d’effectuer la même construction.
Le surprenant théorème de Steiner
Le mathématicien français Jean-Victor Poncelet a conjecturé en 1822 que toute construction réalisable à l’aide de la règle et du compas l’est également à l’aide de la règle seule, à condition de disposer d’un cercle et de son centre. La démonstration en a été donnée par le mathématicien suisse Jakob Steiner en 1833 ! La difficulté est que de telles constructions nécessitent souvent un très grand nombre d’étapes.
Si la construction du milieu d’un segment [AB] n’est pas possible à l’aide d’une seule règle non graduée, elle le devient à l’aide d’une règle à deux bords parallèles.
Sauriez-vous retrouver une telle construction ?