Alpha se réveille en sursaut. Un bruit inhabituel, du moins à trois heures du matin, provient de la salle de bains que l’étudiant de l’Institut intergalactique partage avec son camarade Bêta. Inquiet, il toque à la porte.
« Bêta ? Tout va bien ?
– Hmoui. C’est ouvert et je suis habillé, tu peux entrer. »
Le jeune homme pousse la porte et se frotte les yeux en avisant Bêta penché au-dessus d’une baignoire. « Tu te fais couler un bain ? À trois heures du matin ?
– Pas du tout, répond son ami. J’ai oublié de faire un exercice pour la professeure Thêta et je dois le rendre demain. »
Alpha lève un sourcil. « Ta prof de sens physique t’a demandé de remplir une baignoire d’eau au mépris de toute considération éco-logique ? » Il s’approche un peu et s’exclame : « Et tu as laissé la bonde ouverte, en plus ?
– C’est le principe de l’exercice, se justifie Bêta.« Une baignoire de quatre-vingt-seize litres se remplit en huit minutes, robinet ouvert et bonde fermée. Elle se vide en douze minutes, bonde ouverte et robinet fermé. Que se passe-t-il si l’on cherche à la remplir bonde et robinet ouverts ? » On est d’accord, c’est complètement idiot… Je pensais tout de même avoir trouvé une solution : le robinet débite 96 / 8 = 12 l à la minute, la bonde 96 / 12 = 8 l à la minute. Donc quand les deux sont ouverts, le débit est de 12 − 8 = 4 l par minute, par conséquent, la baignoire doit se remplir en 96 / 4 = 24 mn. Je ne vois pas de faille dans ce raisonnement, mais ça me semble trop facile… Du coup, je voulais vérifier.

– Ce serait effectivement curieux que ta prof de sens physique te donne un problème d’arithmétique aussi simple, abonde Alpha. Sur quoi porte votre cours ?
– La formule de Torricelli.
– Et qu’est-ce que ça dit ?
– Que . Ici, C(z) est la vitesse de l’eau à l’altitude z et g la constante gravitationnelle. Mais du diable si je sais comment raccrocher ça à mon problème de baignoire…
– Ce sera plus simple avec un dessin » décrète Alpha.

Une grande bonde pour l’humanité

« Voilà. Je pense que l’erreur que tu as faite est de considérer que ton débit d’écoulement est constant, alors qu’il est donné par  Au départ, il s’écoulera moins d’un douzième du volume de la baignoire par minute, et ce débit va augmenter progressivement, au fur et à mesure que la pression de l’eau va devenir plus forte. S’il atteint un huitième du volume de la baignoire, alors il y aura un équilibre, à une certaine hauteur.
– Je pense que ça épaterait la professeure Thêta si j’arrivais à calculer cette hauteur ! »
Alpha étouffe un bâillement. « Je propose qu’on laisse la fin de cette histoire passionnante à demain. Epsilon sera sûrement ravie de t’aider à terminer ce calcul » conclut-il en évoquant leur jeune camarade particulièrement férue de mathématiques.
Bêta considère la baignoire qui a continué de se remplir : « Ce serait dommage de gaspiller toute cette eau… Finalement, après avoir tant séché sur cet exercice, je crois que je vais conclure en prenant un bain… »
Et vous, cher lecteur, sauriez-vous calculer la hauteur d’eau à l’équilibre ?