L’inverseur de Simon Plouffe

Lorsqu’on connaît seulement une valeur approchée d’un nombre réel, on peut parfois se demander si ce nombre peut s’exprimer à l’aide de constantes connues et de fonctions simples. Des mathématiciens ont donc construit des outils permettant d’associer à une valeur approchée d’un nombre des valeurs exactes possibles.

Imaginez la situation suivante. Une machine numérique contient une fonction inconnue de vous qui, lorsque vous entrez un nombre réel, vous retourne une valeur approchée avec huit ou dix chiffres significatifs de l’image du nombre que vous avez entré. Réussirez-vous à deviner quelle fonction cette machine applique ?

Précisons tout de suite que si vous testez un certain nombre de valeurs, même très grand, il existera toujours un nombre infini de fonctions qui pourraient convenir. Mais vous cherchez d’abord une fonction pouvant se définir aussi simplement que possible, même si la notion de simplicité ne peut pas, elle, être définie mathématiquement. 

Simon Plouffe en 2007.

Pour essayer de déterminer la fonction inconnue, il vous faudrait une machine inverse, qui, lorsque vous entrez un nombre décimal, vous retourne un nombre réel s’écrivant à l’aide de constantes connues et de fonctions « simples », et dont le nombre décimal que vous avez entré est une valeur approchée suffisamment précise. La machine vous retournerait donc une valeur réelle exacte choisie parmi un nombre colossal de possibilités, en fonction de son expression à partir d’un petit nombre de constantes connues  et d’opérations entre ces constantes.

Une telle machine existe : il s’agit de l’inverseur de Simon Plouffe, mathématicien franco-canadien (né en 1956), qui est également co-auteur de The Online Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) créée par le mathématicien britannique Neil Sloane.

Une version accessible de cette « calculatrice symbolique inverse » (ISC pour Inverse Symbolic Calculator) est disponible à l’adresse wayback.cecm.sfu.ca/projects/ISC, même si cette version, en chantier depuis plus de 25 ans, n’est pas complètement finalisée.

Pour utiliser cet inverseur, une valeur à entrer doit nécessairement :

• être une suite de chiffres comportant au moins cinq chiffres significatifs ;

• être une troncature et non une valeur arrondie par excès.

En effet, si vous entrez une valeur arrondie par excès, l’ISC considérera le dernier chiffre comme exact. Si on entre par exemple 3,1416, l’inverseur ne proposera pas le nombre π, mais des expressions comme 1/3183091 (les chiffres « 0 » initiaux n’étant pas pris en compte) ou  dont l’écriture décimale commence bien par 3,141603852...

Notons enfin que si votre valeur entrée n’a que cinq chiffres significatifs, l’inverseur vous retournera plusieurs centaines de propositions et donc que plus vous connaissez de chiffres du nombre testé, plus l’inverseur pourra affiner la recherche.

Si nous entrons par exemple le nombre 3,9681187850, l’ISC nous retourne seulement les trois propositions suivantes  

et

Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que ces trois propositions sont parfaitement équivalentes.

Il faut noter que, bien que la base de données de l’inverseur contienne plusieurs millions de constantes, certaines demandes peuvent ne pas aboutir.

Si l’on entre, par exemple, le nombre 48,130480170 qui est la valeur approchée de  

on n’obtient pas de réponse.

Revenons à notre machine appliquant une fonction inconnue aux nombres entrés.

Quelle pourrait être la fonction inconnue appliquée par notre machine ?