SOLUTION
Supposons - ce sera effectivement le cas - que le plus petit entier naturel gentil dont le descendant est 2022 possède un nombre de diviseurs positifs inférieur à 100, c'est-à-dire que cet entier naturel soit inférieur à 100 x 2022.
Comme 2022 = 2 x 3 x 337, 2, 3 et 337 doivent être utilisés dans la décomposition de cet entier naturel en facteurs premiers.
Si aucun autre nombre premier n'est utilisé, l'entier naturel est de la forme 2a x 3b x 2022, où a ≤ 6 et b ≤ 4. Le nombre de ses diviseurs positifs est 2(a + 2)(b + 2), qui doit être égal à 2a x 3b (I). a ≠ 3 et a ≠ 5, b ≠ 3 afin de ne pas introduire 5 ni 7. En considérant les puissances de 2 dans chaque membre de l'égalité (I), a ≠ 0 et a ≠ 2.
Si a = 1, on obtient :
|
b |
6(b + 2) |
2 × 3b |
|
0 |
12 |
2 |
|
1 |
18 |
6 |
|
2 |
24 |
18 |
|
4 |
36 |
162 |
De même, si a = 4, on obtient 24 > 16, puis 12(b + 2) < 24 x 3b lorsque b ≥ 1.
Enfin, si a = 6, on obtient 16(b + 2) < 26 x 3b. D'où une contradiction.
Un nombre premier p ≥ 5 est donc utilisé, l'entier naturel est de la forme 2a x 3b x pc x 2022 où a ≤ 6, b ≤ 4 et 1 ≤ c ≤ 2.
Le nombre de ses diviseurs positifs est 2(a + 2)(b + 2)(c + 1), qui est égal à 2a x 3b x pc.
Si c = 2, a ≤ 2 et b ≤ 1 afin de ne pas atteindre 100. D'où une contradiction car p ne divise pas l'expression à gauche.
Donc c = 1 et (a + 2)(b + 2) = 2a-2 x 3b x p.
Si p divise b + 2, p = 5 et b = 3, 100 est dépassé. Donc p divise a + 2.
Si p = 7 et a = 5, 100 est dépassé. Donc p = 5 et a = 3, b = 0. On a bien 40 < 100.
80880 = 24 x 3 x 5 x 337 possède (4 + 1) x (1 + 1) x (1 + 1) x (1 + 1) = 40 diviseurs et son descendant est 80880/40 = 2022.