SOLUTION
Tout demi-hexagone placé sur la grille a sa base de longueur 2 parallèle à un côté du grand triangle équilatéral. On peut donc calculer le nombre de demi-hexagones dont la base est parallèle à l'un des côtés du grand triangle équilatéral, par exemple celui qui est horizontal sur la figure, et on multipliera le résultat par 3.
Soit le côté de longueur 2 est disposé vers le haut : il y a 1 + 2 + ... + n-2 = (n-2)(n-1)/2 façons de le faire. Soit le côté de longueur 2 est disposé vers le bas : il y a 1 + 2 + 3 + ... + n-1 = (n-1)n/2 façons de le faire. On a donc, en factorisant n-1 et en multipliant par 3 à la fin, N = 3(n-1)2.
Le facteur 3 étant forcément présent, pour que N soit un cube parfait, n-1 doit être divisible par 3. n est de la forme 3m+1. N = 33m2. m2 donc m doit être un cube. m = p3. N est le cube de 3p2 et n = 3p3 + 1. Sous la contrainte n ≤ 24, p = 1, la grille est de côté n = 4. N = 33 = 27.
Remarque : une autre méthode consisterait à remarquer que N est forcément de la forme an2 + bn + c. Pour n = 1, N = 0. Pour n = 2, N = 3. Pour n = 3, N = 12. On a donc : a + b + c = 0, 4a + 2b + c = 3 et 9a + 3b + c = 12. D'où a = 3, b = -6 et c = 3. On retrouve N = 3n2 - 6n + 3 = 3(n-1)2.
La grille est de côté n = 4. On a N = 27 = 33.