Ces paradoxes qui ébranlèrent les mathématiques


Bertrand Hauchecorne

Quelle théorie diabolique que celle des ensembles, créée par Georg Cantor ! C'est ce que certains ont pensé au tournant du XXe siècle, tant une série de paradoxes a semblé mettre en péril les fondements des mathématiques. Ce fut l'occasion d'une remise en question de la place de la logique.

La convergence des séries de Fourier était un domaine de recherche important dans les années 1860–70. Pour une fonction périodique « suffisamment régulière », le résultat ne posait aucun problème, mais un phénomène étrange apparaissait parfois : la convergence de la série pouvait se produire en des points pour lesquels la fonction périodique n’était même pas continue.


Antinomies dans les ordinaux

Le mathématicien allemand Georg Cantor est encore tout jeune lorsqu’il se penche sur ce problème. Il s’interroge sur les domaines de non-continuité de telles fonctions, ce qui le conduit à développer la théorie des ensembles et, surtout, celle des cardinaux infinis. Il considère alors que deux ensembles A et B ont le même cardinal (fini ou non) si l’on peut établir une bijection entre eux, c’est-à-dire qu’à chaque élément de A, on puisse faire correspondre de manière unique un élément de B et qu’inversement, chaque élément de B n’est l’image que d’un et un seul élément de A. Il montre alors que l’ensemble des entiers et celui des nombres rationnels sont le même cardinal, qu’il y a autant de points sur une droite que dans un plan. Mais tous les cardinaux infinis seraient-ils égaux ? Cantor montre que ... Lire la suite


références

 Généalogie des mathématiques. Alain Séguy-Duclot, Spartacus, 2019.
 Envers et contre-exemples. Bertrand Hauchecorne, Quadrature 112.
 Logicomix. Apostolos Doxiadis, Christos Papadimitriou, Alecos Papadatos
et Anna Di Donna, Vuibert, 2010.