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La géométrie autrement

Peut-on traiter la géométrie comme une branche de l'algèbre ? C'est l'enjeu de l'usage des espaces vectoriels. Les retombées sont spectaculaires : « algébriser » la géométrie permet de revisiter la plus ancienne des sciences, de la généraliser à des contextes inattendus ou plus abstraits, de gagner en rigueur, d'adopter une démarche plus systématique et calculatoire, de repenser la notion d'espace, et de découvrir de nouveaux résultats ! Cette nouvelle « mathématique sans figures », conserve l'intuition géométrique, mais va bien au-delà…
En étendant la notion de distance introduite par les espaces euclidiens, l'introduction des espaces vectoriels normés, qui permet d'élargir le champ des espaces vectoriels à l'analyse fonctionnelle, débouche sur une nouvelle moisson de résultats et d'applications.

LES ARTICLES

La définition axiomatique du produit scalaire a donné un cadre rigoureux et fécond pour l'étude des propriétés métriques, à savoir celles qui concernent les notions de distance, d'angle et d'orthogonalité. Il faudra attendre les années 1920 pour dégager cette notion.


L'algèbre linéaire est née du besoin de trouver un cadre à la géométrie usuelle. Du point de vue de la pratique calculatoire, c'est réussi ! La simplification de certaines opérations et manipulations, devenues plus systématiques, simplifie et rend plus rigoureux le raisonnement géométrique.


Une géométrie sans figures

Élisabeth Busser
Michel Chasles en avait rêvé, la théorie des espaces vectoriels le permet désormais : on peut faire de la géométrie sans tracer aucune figure. Ainsi, deux points de vue coexistent, géométrique et algébrique, et tout un chacun peut se placer dans celui où il se sent le plus à l'aise !


Les notions de points et de droites du plan sont duales : aux théorèmes concernant des alignements de points correspondent des théorèmes concernant des concourances de droites. Cette dualité peut être définie géométriquement. On la retrouve même dans l'espace avec la coplanarité.


Certains problèmes géométriques, même compliqués en apparence, s'éclairent vite en utilisant des transformations géométriques et se résolvent souvent en les composant. Pour cela, il convient de les reformuler en termes vectoriels.


En bref : Produit vectoriel et produit mixte

Bertrand Hauchecorne

Définis sur l'espace euclidien de dimension 3, ces deux produits sont des héritiers des quaternions d'Hamilton. Ils sont devenus des outils utiles en géométrie et en mécanique.



En bref : Translations et rotations

Hervé Lehning

Translations et rotations possèdent de nombreuses applications. Et pas seulement en géométrie !



En bref : Premiers exemples d'espaces vectoriels (2)

Jean-Jacques Dupas

Il n'est de bon espace vectoriel E que sur un corps de base K. Mais qu'est-ce qu'un corps exactement ?



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