Cette très jolie propriété géométrique était connue des élèves de seconde C dans les années 1970, même si peu savaient la démontrer.
Soit ABC un triangle et M un point du plan. Les projections de M sur les trois côtés du triangle sont alignées si, et seulement si, le point M appartient au cercle circonscrit au triangle ABC. Si c’est le cas, la droite qui joint les trois projections est appelée droite de Simson du point M.
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Une propriété encore plus jolie est le théorème de Steiner : quand M décrit le cercle circonscrit, la droite de Simpson de M enveloppe une hypocycloïde à trois points de rebroussement. Cette courbe est celle que décrit un point d’un cercle de rayon R roulant sans glisser à l’intérieur d’un cercle de rayon 3R.
