Au tout début du XXe siècle se fait sentir le besoin d’introduire la notion de « distance » et le concept d’« espace métrique ». Cela s’inscrit dans le contexte plus général d’un passage spectaculaire à l’abstraction dans le cadre des structures mathématiques, passage qui s’est effectué au cours du demi-siècle précédent.
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815–1897).
Dans les années 1860, principalement sous l’impulsion de Karl Weierstrass, ont été mises en place des notions de continuité et de limite, définies précisément à l’aide de la valeur absolue de différences tendant vers 0.
Dans les années 1870, la théorie des ensembles se développe grâce aux Allemands Georg Cantor et Richard Dedekind et à la formalisation du mathématicien italien Giuseppe Peano. Peu après, ses compatriotes Vito Volterra et Salvatore Pincherle s’intéressent à des espaces dont les éléments ne sont plus des points mais des fonctions. Ils fondent ainsi ce que l’on appelle analyse fonctionnelle, un nom proposé par le mathématicien français Paul Lévy.
