Le précédent article a permis de se rendre compte que la notion de « boule » donne naissance, déjà dans le plan, à des formes surprenantes. Qu’en est-il dans l’espace ?
Des boules qui grossissent…
Si p est un réel strictement positif, dans l’espace habituel, c’est-à-dire dans ℝ3, muni d’un repère orthonormé, on définit la norme Np du vecteur de ℝ3 de coordonnées (x, y, z) par exactement comme on le fait pour les vecteurs du plan (voir page 36). Cette opération permet ensuite de définir la distance associée à Np.
Comme dans le plan, Np n’est une norme que pour p ≥ 1. Pour p = 2, on retrouve la distance euclidienne, pour laquelle le plus court chemin entre deux points est une ligne droite. Pour p = 1, la distance de l’origine O(0, 0, 0) au point de coordonnées (x, y, z) est obtenue par un chemin formé de trois segments parallèles aux axes, généralisant la distance « Manhattan ».
La boule unité Bp(O, 1) de l’espace, ou plus simplement Bp, est définie de façon similaire à celle du plan ; elle a pour frontière (« bord ») la surface ...
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