L’emploi d’un développement limité en lieu et place de la fonction elle-même n’est justifiable que si cette approximation ne modifie pas le calcul des propriétés étudiées (limite, majoration ou autre). C’est pourquoi le comportement du reste est important.

 

Dire que le polynôme P, de degré inférieur ou égal à n, est le développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 d’une fonction f signifie que la quantité R(x) = f  (x) ‒ P(x) est négligeable devant x n, ce qui est noté par R(x) = o(x n).

 Cela fournit un comportement de la fonction étudiée au voisinage de 0, ce que l’on nomme une étude locale. 

Pour beaucoup d’applications, comme des recherches de limites, c’est amplement suffisant. Mais une telle formulation ne permet pas de faire des études sur tout un segment, c’est-à-dire de traiter un problème global.

 

Le reste de Lagrange

Joseph-Louis Lagrange a, le premier, obtenu une expression du reste qui permet sa majoration. Il démontre en outre le théorème des accroissements finis, qui affirme : si une fonction numérique f est continue sur un segment [a, b] et dérivable sur ]a, b[ , alors il existe un point c de ]a, b[ tel que  

En posant a = 0 et b = x, on obtient qu’il existe c dans ]0, x[ tel que f (x) = f (0) + xf ’(c). Pour peu que la dérivée f ’ soit bornée sur [0, x], en particulier si elle y est continue (attention, c dépend de ... Lire la suite gratuitement