Les suites ou les fonctions peuvent avoir des limites. Mais le besoin s’est fait sentir de définir tout cela de manière abstraite. L’émergence de la théorie des ensembles et des structures algébriques ont permis de faire apparaître au début du XXe siècle les notions d’espaces métrique, topologique ou normé. En voici la belle histoire.

En cette fin de XIXe siècle, l’analyse mathématique avait abouti à un édifice rigoureux, basé sur des fondements solides. En particulier la notion de limite, sur laquelle les mathématiciens avaient buté, était définie précisément, grâce à Augustin Louis Cauchy (1789-1857 ; voir Augustin Louis Cauchy, Tangente Hors-série 91, 2024) mais surtout à l’allemand Karl Weierstrass (1815-1897). Cela avait été possible grâce à une construction des nombres réels qui, jusqu’alors, semblaient découler de l’intuition. Rappelons que toute l’analyse est basée sur la notion de limite, en particulier tout ce qui concerne la dérivation et l’intégration. Ainsi, cette discipline ne semblait progresser que par des compléments marginaux. Pourtant, au cours de ce même siècle, quelques indices étaient en germe pour prévoir une révolution : les notions de structures abstraites et les débuts de l’analyse fonctionnelle. 

 

Les signes annonciateurs

À la suite d’Évariste Galois (1811-1832) qui a planté les premiers jalons de la théorie des groupes juste avant de mourir en duel en 1832 (Les groupes, Bibliothèque Tangente 80, 2023 ; Évariste Galois, Bibliothèque Tangente 82, 2023), plusieurs mathématiciens, parmi lesquels l’anglais Arthur Cayley (1821-1895), l’allemand Leopold Kronecker (1823-1891) et le français Camille Jordan (1838-1922), ont mis ... Lire la suite