Les fonctions s’étudient généralement dans des espaces vectoriels normés (voir article
« Des environnements pour le mathématicien »). On peut disposer de plusieurs normes. Mais, contrairement à ce qui se passe dans ℝn (et plus généralement lorsque la dimension est finie), les normes ne sont pas toujours équivalentes, au sens où elles ne préservent pas toujours les mêmes propriétés topologiques (convergence, continuité, complétion…). Il est donc toujours délicat de choisir une norme plutôt qu’une autre. Selon le problème posé (approximation par des fonctions polynomiales, résolution d’équations aux dérivées partielles…), on en choisira une qui soit adaptée à la technique utilisée. La norme || .|| 2 est assez souvent « gagnante » en raison du produit scalaire qui se cache derrière et donc de la possibilité d’utiliser les outils des espaces de Hilbert.
Convergence… ou pas
Voici quelques exemples de normes pour une fonction f dans l’espace des fonctions continues sur l’intervalle [0 ; 1] :
La notion de convergence dans cet espace vectoriel normé se définit par :
Une ...
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