Pour k = 3, c'est par exemple le cas de 153 car 13 + 53 + 33 = 153. On laisse le lecteur vérifier que c’est le cas aussi pour 370, 371 et 407. Pour les ordres 4 et 5, il y en a trois à chaque fois.
Il n’y en a qu’un seul d’ordre 6 (c’est 548 834 car 56 + 46 + 86 + 86 + 36 + 46 = 548 834) et il n’y en a aucun d’ordre 2, 12 ou 13 par exemple. Le record est détenu par l’ordre 11 où il y en a huit. Ces nombres, qualifiés initialement de nombres d’Armstrong de première espèce ou plus-que-parfaits (ou encore PPDI en anglais, pour PluPerfect Digit Invariant) ont été ensuite qualifiés par certains de nombres narcissiques même si, pour d’autres auteurs, cette terminologie recouvre une plage d’entiers beaucoup plus large : ceux dont la valeur peut être calculée à partir de ses propres chiffres (bien sûr en dehors de l’écriture dans le système décimal, qui sous-entend un calcul).
Il n’existe qu’une quantité finie de nombres d’Armstrong plus-que-parfaits :
89 exactement, et le plus grand est
115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401.
Saurez-vous retrouvez, sans aucun calcul ou presque, l’autre possédant aussi 39 chiffres ?
