C’est en 1973 que Neil Sloane, le créateur de l’extraordinaire encyclopédie en ligne des suites d’entiers (oeis.org), a commencé à se poser des questions sérieuses sur les propriétés du produit des chiffres d’un nombre et sur ce qui arrive quand on itère ce processus.
Pour commencer en douceur, nous allons d’abord regarder ce qui se passe quand on additionne les chiffres d’un nombre entier.
Neil Sloane (né en 1939).
Persistance additive
Si vous ajoutez entre eux les chiffres d’un nombre entier et recommencez l’opération, vous vous apercevrez qu’on arrive très vite à un nombre à un seul chiffre (appelé la cible additive du nombre de départ), même en partant de grands chiffres. Par exemple, en partant de 999, on obtient 9 en deux étapes, en passant par 27. Suite au vocable inventé par Sloane, on appelle persistance additive de l’entier ce nombre d’étapes.
On peut se demander tout d’abord quelle est la cible additive d’un entier n. Ceux qui ont déjà pratiqué le critère de divisibilité par 9 ont peut-être trouvé : il s’agit du reste dans la division de n par 9 en remplaçant par 9 ce reste quand il est ... Lire la suite