Les probabilités et leur métaphysique

Laplace, préoccupé par cette nouvelle « science du hasard » qu’il tente d’apprivoiser, dispose d’un modèle quasi expérimental pour les probabilités. Ce modèle est celui de l’urne qui contient des boules blanches et des boules noires. L’épreuve consiste à tirer une boule. En 1814, dans son Essai philosophique sur les probabilités, ses réflexions lui permettent d’énoncer une loi en termes simples : « La probabilité que le rapport du nombre des boules blanches extraites au nombre total des boules sorties ne s’écarte pas au-delà d’un intervalle donné du rapport du nombre des boules blanches au nombre total des boules contenues dans l’urne, approche indéfiniment de la certitude par la multiplication indéfinie des évènements, quelque petit que l’on suppose cet intervalle. »

De fait, une formulation mathématiquement bien plus précise est publiée par Laplace en 1810. Ce résultat est un véritable choc en ce sens qu’en prenant une charge au Sénat, Laplace pensait ne plus véritablement participer à la science active. Il s’en explique même dans le premier volume des Mémoires de physique et de chimie de la Société d’Arcueil.

Cette démonstration fait intervenir une fonction que Laplace appelle « caractéristique », et il a l’impression qu’elle ressemble à ce que Fourier a introduit peu de temps auparavant dans la dernière partie de sa Théorie de la propagation de la chaleur. La preuve permet de rassembler en une théorie unique tous les travaux anciens (depuis 1774) : elle est donc donnée dans la Théorie analytique des probabilités ; elle fait intervenir l’intégrale définie d’une fonction en exponentielle de puissance ‒x²/2.

La philosophie entre en scène

Laplace ne souhaite pas laisser ce résultat comme un énoncé qui n’aurait pas de conséquence philosophique et tient à faire savoir la nature de ses propres réflexions. Il reprend des idées de jeunesse, formées alors qu’il lisait Leibniz, notamment ses Essais de théodicée (écrits en français et publiés en 1710) ; il les formule maintenant dans un langage de mathématicien, parlant d’axiomes, mais sans pour autant oublier le vieux langage pratique d’Aristote sur les causes, ce qui évite d’avoir à trop développer le formalisme.

« Les évènements actuels ont, avec les précédents, une liaison fondée sur le principe évident qu’une chose ne peut pas commencer d’être, sans une cause qui la produise. Cet axiome, connu sous le nom de principe de la raison suffisante, s’étend aux actions mêmes que l’on juge indifférentes. La volonté la plus libre ne peut, sans un motif déterminant, leur donner naissance ; car si, toutes les circonstances de deux positions étant exactement semblables, elle agissait dans l’une et s’abstenait d’agir dans l’autre, son choix serait un effet sans cause : elle serait alors, dit Leibniz, “le hasard aveugle des épicuriens”. L’opinion contraire est une illusion de l’esprit qui, perdant de vue les raisons fugitives du choix de la volonté dans les choses indifférentes, se persuade qu’elle s’est déterminée d’elle-même et sans motifs. »

Dans ces conditions, Laplace est persuadé qu’il n’y a d’autre manière que celle de dire une cosmologie « à l’antique », utilisant le langage des causes d’Aristote, mais en l’asseyant sur l’étude de la mécanique des point matériels. « Nous devons envisager l’état présent de l’univers comme l’effet de son état antérieur, et comme la cause de ce qui va suivre » poursuit-il dans son Essai philosophique sur les probabilités. Cette considération banale conduit à une expérience de pensée (voir encadré) qui ne vaut en rien existence d’un ordre de l’univers, ou d’une volonté divine et créatrice, mais peut donner lieu à une solide espérance toute humaine qui est fondamentalement ce que l’on peut déduire des Lumières. Laplace limite aussitôt cette déclaration générale : la démarche scientifique ‒ en l’occurrence, l’astronomie ‒ est une « esquisse » faible mais néanmoins effective de cette intelligence si évidemment impossible… « [Les découvertes de l’esprit humain] en Mécanique et en Géométrie, jointes à celle de la pesanteur universelle, l’ont mis à portée de comprendre dans les mêmes expressions analytiques les états passés et futurs du système du monde » complète-t-il dans son Essai philosophique sur les probabilités.

Entre morale et politique

Saint-Simon reproche depuis plusieurs années à Laplace son manque d’ambition : son système du monde semble concerner « seulement » le Système solaire. En 1811, le philosophe publie ainsi une Histoire de l’Homme ; il vitupère les savants de son époque, et notamment Laplace, qui « détourne avec soin son attention des considérations générales, et qui la fixe tout entière sur la solution de quelques petits problèmes particuliers ». Mais, dans son Essai philosophique sur les probabilités, Laplace a utilisé à bon escient le verbe « comprendre » quand il affirme que l’esprit humain est « mis à portée de comprendre les états passés et futurs du système du monde ». Le mot signifie aussi bien « contenir » que « rassembler », et est peut-être pour lui une limitation qui tient aux seules mathématiques utilisées. Il n’oublie pas l’hypothèse, telle que formulée vingt ans plus tôt, relative à la formation du système solaire à partir de la loi des aires, mais aussi de lois non connues de refroidissement et de formation d’anneaux ou de satellites. Autrement dit, le Système solaire n’est pas né stable, mais il l’est devenu, du moins c’est ce que peuvent dire les mathématiques de son temps, et peut-être cette longue relativité est celle-là seule à laquelle peut prétendre l’humanité.

Portrait de Claude-Henri de Rouvroy, comte de Saint-Simon (1760‒1825),
par Hippolyte Ravergie, d’après un dessin d’Adélaïde Labille-Guiard.

Dans son Essai philosophique sur les probabilités, Laplace est obligé de préciser sa métaphore sur le développement scientifique, et éloigne autant que possible l’idée d’une sorte de « développement asymptotique » : « Tous ces efforts dans la recherche de la vérité tendent à le [l’esprit humain] rapprocher sans cesse de l’intelligence que nous venons de concevoir, mais dont il restera toujours infiniment éloigné. »

Il conclut, bien au-delà des mathématiques, mais pourtant sans aucunement renier les Lumières : « Cette tendance propre à l’espèce humaine est ce qui la rend supérieure aux animaux, et ses progrès en ce genre distinguent les nations et les siècles et font leur véritable gloire. »

Laplace critique enfin « l’amour des conquêtes » qui a détruit ce que les Lumières avaient donné comme prestige à la France. Voilà ce qu’il écrit encore, sans prendre le ton politique, ni vraiment moral, mais en restant dans la ligne même de son étude des probabilités : « Considérez encore les avantages que la bonne foi a procurés aux gouvernements qui en ont fait la base de leur conduite, et comme ils ont été dédommagés des sacrifices qu’une scrupuleuse exactitude à tenir ses engagements leur a coûté. Quel immense crédit au-dedans ! quelle prépondérance au-dehors ! Voyez, au contraire, dans quel abîme de malheurs les peuples ont été souvent précipités par l’ambition et par la perfidie de leurs chefs. Toutes les fois qu’une grande puissance, enivrée de l’amour des conquêtes, aspire à la domination universelle, le sentiment de l’indépendance produit entre les nations menacées une coalition, dont elle devient presque toujours la victime. »