Certains nombres palindromes n sont tels que le nombre 2n est également un palindrome. Appelons ces nombres des palindromes alpha. Voici les premiers de ces nombres : 1, 2, 3, 4, 11, 22, 33, 44, 101, 111, 121, 131, 141, 202, 212, 222, 232, 242, 303, 313, 323, 333, 343, 404, 414, 424, 434, 444, 1001, 1111, 1221, 1331, 1441…
1. On constate que l’écriture d’aucun de ces nombres ne comporte de chiffre supérieur ou égal à 5. Pourquoi ?
Cette opération de doublement qui conserve la palindromie peut-elle être itérée ?
La réponse est positive, par exemple : 121 → 242 → 484. Mais de telles chaînes sont limitées. En effet, si 121 et 242 sont bien des palindromes alpha, ce n’est plus le cas de 484 qui donne 968, nombre non palindrome. On peut former des chaînes de deux palindromes alpha à partir des nombres 1, 2, 11, 22, 101, 111, 121, 202, 212, 222, 1001, 1111, 1221, 2002, 2112, 2222, 10001, 10101, 10201, 11011, 11111, 11211, 12021, 12121, 12221, 20002, 20102…
2. Aucun de ces nombres ne comporte de chiffre supérieur ou égal à 3. Pourquoi ?
On peut également former des chaînes de trois palindromes alpha, mais les chiffres disponibles sont alors très limités. Les premiers nombres de ces chaînes sont 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, 101101, 110011, 111111, 1000001, 1001001, 1010101, 1011101...
On peut raisonnablement conjecturer qu’il n’existe pas de chaîne de plus de trois nombres alpha.
Les palindromes alpha+
Il existe également des nombres palindromes n tels que le nombre 2n + 1 est aussi un palindrome. Nous appellerons ces nombres des palindromes alpha+. Les premiers sont 1, 2, 3, 4, 5, 55, 151, 161, 171, 181, 191, 252, 262, 272, 282, 292, 353, 363, 373, 383, 393, 454, 464, 474, 484, 494, 555, 5555, 15051, 15151…
Sur les 9 palindromes à deux chiffres, un seul est alpha+ : 55. Il existe 90 palindromes de trois chiffres, dont 20 sont alpha+. On dénombre également 90 palindromes de quatre chiffres, mais seul 5555 est alpha+. On peut conjecturer que les seuls palindromes alpha+ ayant un nombre pair de chiffres sont les nombres 55, 5555, 555555… Une recherche informatique permet de compter 100 palindromes alpha+ parmi les 900 nombres palindromes de cinq chiffres.
Comme pour les palindromes alpha, on peut rechercher des chaînes de palindromes alpha+. De telles chaînes existent. Pour les chaînes de deux termes, les premiers nombres de ces chaînes sont 1, 2, 181, 191, 18081, 18181, 19091, 19191, 1808081, 1809081, 1818181, 1819181...
Par exemple : 191 → 383 → 767, le nombre 767 étant simplement palindrome sans être alpha+. On conjecture qu’il n’existe pas de chaîne de trois palindromes alpha+ ou plus.
Les palindromes alpha–
On peut, de la même façon, définir des nombres palindromes alpha– comme des nombres n tels que 2n – 1 est aussi palindrome. Les premiers palindromes alpha– sont les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 66, 666…
On peut démontrer que tous les palindromes alpha– strictement supérieurs à 5 ne s’écrivent qu’avec le chiffre 6.
3. Existe-t-il des chaînes de palindromes alpha– ?
SOURCES
Voir les suites A118596, A069881 et A069882 de l’encyclopédie en ligne des suites entières (oeis.org).