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Le birapport

En modélisant la perception visuelle, les peintres de la Renaissance ont fait émerger une géométrie nouvelle pour représenter la profondeur. Rien ne semblait se conserver, sauf une étrange relation liant quatre points alignés, le birapport, qui pourtant, dès l'Antiquité, avait été pressenti par Ménélaüs et Pappus.
Cet invariant, qui émerge de la concourance de quatre droites, permet des constructions géométriques et des démonstrations élégantes, même dans un cadre non euclidien. Il offre un regard différent sur le plan, en abolissant le règne des notions d'angle et de distance.

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Les théorèmes de Ménélaüs et de Ceva, classiques de la géométrie du plan, présentent une similarité de forme. Cette ressemblance se précise lorsque l'on introduit la notion de birapport.


La notion de division harmonique, comme celle plus générale de birapport, se sont avérées être des atouts essentiels du raisonnement géométrique, en particulier pour traiter de cocyclicité (propriété pour des points du plan d'appartenir à un même cercle) ou de faisceaux de droites.


Birapport d'un autre monde

François Lavallou
Dans le courant du XIXe siècle, la recherche d'éléments invariants par un certain groupe de transformations est devenue le principal objet d'étude des différentes géométries. Le birapport, invariant fondamental de la géométrie projective, se retrouve aussi dans les géométries non euclidiennes et leurs modèles.


Le besoin de modéliser la perception visuelle a fait émerger une nouvelle géométrie. Les peintres de la Renaissance ont éprouvé le besoin d'en faire une étude précise pour représenter la profondeur. Longueurs, angles : rien ne semblait se conserver, sauf une étrange relation liant quatre points alignés…


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