En 1872 sont données deux définitions des réels encore utilisées aujourd'hui : par les suites de Cauchy et par les coupures de Dedekind. Avant cela, les mathématiciens parlent de « grandeur » et donnent des définitions au cas par cas : on définit des irrationnels algébriques (comme les racines carrés ou n-èmes), on cherche la meilleure définition de π… Mais il n'existe pas de définition générale précise des irrationnels. Il est alors difficile de savoir ce que l'on manipule exactement. Peut-on ordonner ces grandeurs ? Peut-on les ajouter, les soustraire, les multiplier ? Mais alors, comment définir l'ordre, les opérations ?
Pourquoi est-ce un problème ? Parce qu'alors certains théorèmes de l'analyse (notamment sur la convergence des suites) reposent sur un fondement douteux : vers quoi tend une suite de rationnels lorsque sa limite elle-même n'est pas rationnelle ?
En campagne pour plus de rigueur
Charles Méray (1835-1911; en vignette ci-dessus), mathématicien français qui a fait l'essentiel de sa carrière à l'université de Dijon, est le premier à proposer une définition des irrationnels. Pour lui, le manque de rigueur en analyse est critique. Il ne mâche pas ses mots : « [L'analyse] m'a paru pitoyable par son décousu, ses procédés, son manque absolu de rigueur et mes principaux efforts ont tendu à la rendre ...
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