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La structure topologique de la droite réelle est à la base du concept de limite et donc, entre autres, de ceux de continuité et de dérivabilité. Elle traite des notions de proximité des points induite par la relation d'ordre.

Jusqu'au xix^e siècle, l'existence des nombres réels semblait être offerte par la nature. Aucune considération sur leur structure, a fortiori leur construction, n'avait donc de sens. On savait cependant depuis le xvii^e siècle mettre en miroir les points d'une droite et les nombres réels, moyennant une origine et une unité. Au xix^e siècle, tout se bouscule. Les mathématiciens prennent conscience de la distinction entre la réalité physique et sa modélisation mathématique. Le corollaire est alors de bâtir un édifice mathématique sur des bases logiques. Cette maturation durera pratiquement tout ce siècle avec un besoin pressant de définir les nombres réels, en partant des rationnels qui semblent avoir une réalité sensible. C'était en particulier indispensable pour démontrer, sans faire appel à l'évidence géométrique, les théorèmes de base sur les fonctions continues (comme celui des valeurs intermédiaires). Ce sera l'œuvre de plusieurs mathématicien, dont Karl Weierstrass, Charles Méray, Richard Dedekind et Georg Cantor.

Ordre, complétude et intervalles

Ces différents mathématiciens ont « construit » l'ensemble des réels en partant de l'ensemble des nombres rationnels, communément appelés fractions. L'argument principal est ce que l'on appelle la complétude. De même que π, obtenu par approximations successives, s'est imposé comme étant un nombre, on veut ajouter aux rationnels toutes ces limites ... Lire la suite

De l'art d'être un intervalle

On appelle intervalle de $\mathbb{R}$ tout ensemble I, soit vide, soit tel que si a et b appartiennent à I alors tout réel x vérifiant a < x < b appartient lui aussi à I. Étant donnés deux réels a et b avec a < b, on note [a, b] l'ensemble des réels x vérifiant a ≤ x ≤ b, ]a, b[ l'ensemble des x vérifiant a < x < b. On définit de même ]a, b] et [a, b[. Ces quatre types de parties de $\mathbb{R}$ sont des intervalles.

Considérons un réel a. On note [a, + $\infty$ [, respectivement ]a, + $\infty$ [, l'ensemble des réels x tels que a ≤ x (respectivement a < x) et on définit de même ]– $\infty$ , a] et ]– $\infty$ , a[. En y ajoutant l'ensemble tout entier, nous avons tous les intervalles de $\mathbb{R}$ !

Les intervalles de la forme [a, b] s'appellent des segments : ce sont les seuls intervalles compacts, c'est-à-dire fermés et bornés.

Parties ouvertes et parties fermées

Une partie A de l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels est ouverte si, pour tout élément x de A, il existe r > 0 tel que l'intervalle ]x – r, x + r[ soit inclus dans A. Le réel r peut être pris aussi petit que l'on veut, tout en restant strictement positif ; l'ensemble vide est considéré comme ouvert. Les intervalles ouverts sont d'une des formes suivantes,
]a, b[, ]a, + $\infty$ [, ]– $\infty$ , a[ ou $\mathbb{R}$ = ]– $\infty$ , + $\infty$ [. Cependant, bien d'autres parties sont ouvertes ; ainsi, tout réunion de parties ouvertes l'est encore. L'ensemble des nombres réels non entiers est par exemple ouvert, comme réunion des ]n, n + 1[ où n décrit l'ensemble des nombres entiers relatifs.

Une partie F est fermée si son complémentaire est ouvert. Les intervalles fermés sont d'une des formes suivantes : [a, b], [a, + $\infty$ [, ]– $\infty$ , a] ou $\mathbb{R}$ = ]– $\infty$ , + $\infty$ [. D'autres parties fermées sont l'ensemble des entiers relatifs (on vient de voir que son complémentaire est ouvert). Une partie peut être ni ouverte, ni fermée : c'est le cas de l'ensemble des nombres rationnels.

La droite topologique

Bertrand Hauchecorne

dossier : La droite et les nombres réels

HS Kiosque 59 : La droite

Ordre, complétude et intervalles