Pour définir un nombre, il faut le nommer mais aussi l’écrire. La notation fractionnelle ne concerne que les rationnels. Le développement décimal (ou dans n’importe quelle base) en est une solution. Cette écriture possède de nombreux avantages, mais dépend cependant d’un arbitraire, le choix de la base (on utilise dans nos sociétés la base 10, mais d’autres sont possibles : 2, 8, 16 et 60 sont parmi les plus connues). Le développement en fraction continue échappe à cette critique. De quoi s’agit-il au juste ?
L’algorithme d’Euclide
La notion de fraction continue est liée à la division euclidienne et se trouve de manière sous-jacente dans l’algorithme d’Euclide, que le savant alexandrin énonce dans le septième livre des Éléments. Rappelons le procédé.
On se donne deux entiers positifs 0 < b < a et on effectue la division euclidienne a = bq1 + r1 avec 0 ≤ r1 < b. Si r1 = 0, le processus s’arrête ; sinon, on peut réécrire l’égalité ainsi : .
Itérons le procédé avec b et r1 ; la division euclidienne nous donne alors b = r1 q2 + r2 avec 0 ≤ r2 < r1 ; on a donc, si r2 n’est pas nul, .
En remplaçant b / r1 dans cette dernière formule, on obtient donc .
On poursuit le procédé jusqu’à l’obtention d’un reste nul. On y parvient nécessairement puisque les ...
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