Le triangle est sans doute une des figures les plus élémentaires du plan et sa géométrie est bien connue. Dans l'espace, l'étude des tétraèdres est encore active et pleine de surprises ! Un problème vient d'être complètement résolu plus de quarante ans après avoir été proposé par John Conway et Antonia Jones.

La donnée de trois points non alignés, autrement dit d’un triangle, fait naître un nombre impressionnant de propriétés. L’une des plus connues est que la somme des angles ainsi formés vaut 180° (ou π radians).

Qu’en est-il dans l’espace ? Donnons-nous quatre points non coplanaires, autrement dit un tétraèdre. La notion d’« angle » est ici plus ambiguë (voir les Angles, Bibliothèque Tangente 53, 2015). On peut considérer les douze angles plans formés par deux arêtes. On peut aussi considérer les six angles dièdres formés par deux faces. On peut encore faire le choix de s’attarder sur les angles dits solides, ou trièdres, formés par les quatre sommets du tétraèdre.

Ce sont ici les angles dièdres qui vont piquer notre curiosité. Cela revient d’ailleurs à s’intéresser à des angles formés par des droites (ou des vecteurs) en considérant les normales à ces plans.

 

 

L’angle dièdre formé par deux plans est égal à l’angle formé par des perpendiculaires à chacun de ces plans.

 

 

Des questions historiques

 

Avant d’en arriver au résultat démontré récemment, revenons sur les grandes questions qui animent l’histoire de l’étude des tétraèdres. Déjà, il est possible de paver l’espace avec des cubes ou des pavés ; jouer à assembler des briques ... Lire la suite