Considérons les nombres 1, puis 1+ 1/2, puis 1 + (1/2) + (1/3), puis 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4), et ainsi de suite. On les appelle les nombres harmoniques, et on les note Hn. On a ainsi H1 = 1, puis H2 = 3/2, puis H3 = 11/6, etc.
Bien sûr, plus on va loin dans la suite plus les nombres augmentent, en vertu de la relation Hn+1 = Hn + 1/(n + 1). En revanche, la croissance n’est pas rapide, comme l’illustre la liste ci-contre qui donne la partie entière de quelques nombres harmoniques. (À chaque fois, le n est le plus petit possible tel que Hn dépasse l’entier indiqué.) Comme on le voit, il faut aller jusqu’à H4 pour dépasser 2, jusqu’à H11 pour dépasser 3, jusqu’à H31 pour dépasser 4… et jusqu’à H40 427 833 596 pour dépasser 25 !
|
n |
partie entière de Hn |
|
4 |
...
Lire la suite
|