Pourquoi vouloir intégrer toujours plus d’éléments à l’ensemble des nombres connus ? En ajouter un seul aux nombres rationnels pour le composer avec eux permet déjà d’obtenir de nombreux ensembles avec bien des merveilles à dévoiler.
Quand on entreprend la construction des principaux ensembles de nombres, on part en général des entiers puis des rationnels, quotients d’entiers, pour ensuite remarquer qu’une expression comme 
ne peut pas s’écrire sous forme de fraction. Souvent, à peine cette observation faite, on s’empresse de remarquer que 
et leurs petits camarades tels que 
ou 
sont également irrationnels. Ils peuvent donc eux aussi prétendre à une place dans le monde des nombres, élargissant considérablement les frontières de ce dernier.
Or plutôt que de se lancer d’emblée dans une exploration aussi immense, on peut s’arrêter à ce qui se passe quand une seule racine carrée est introduite. De cette manière se révèlent les corps quadratiques. Ces régions particulières disposent de leurs structures propres, qui prolongent de façon étonnamment régulière celle de l’ensemble des nombres rationnels.
Les corps quadratiques prolongent la structure de l'ensemble des rationnels
Voyons pour commencer le cas de . Nous partons de l’ensemble ℚ des nombres rationnels (ceux qui peuvent s’écrire sous la forme d’un quotient a/b avec a et b entiers), et nous lui adjoignons ainsi que tous les nombres que Lire la suite
