L’un des plus anciens problèmes des mathématiques est celui de la quadrature du cercle : construire un carré ayant même aire que l’intérieur d’un cercle. Un autre problème célèbre est celui de la duplication du cube. À chaque fois, il s’agit de construire, à la règle et au compas, un nombre donné : π ou .
Une question naturelle est alors : quels sont les nombres que l’on peut « construire à la règle et au compas » ? La réponse a été donnée seulement au XIXe siècle.
Un peu d’histoire
Qu’est-ce qu’un nombre ? Dans l’Antiquité, on confondait nombre et mesure. Par conséquent, des difficultés étaient présentes : comment définir le « produit » de deux nombres ? Si l’on représente le produit de deux nombres (mesures), on obtient une aire, un volume pour le produit de trois nombres, et… quelque chose de bizarre si l’on multiplie deux aires ! Quant au quotient de deux nombres, ce peut être une mesure (le quotient d’une aire par une longueur), ou un nombre sans dimension si les deux nombres sont des longueurs.
Il faut attendre René Descartes et sa fameuse Géométrie en 1637 pour que le nombre soit introduit en géométrie, avec une idée toute simple mais géniale : le mathématicien et philosophe français ...
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