
Le calcul mental requiert souvent une bonne dose d’opportunisme. Prenez 51 × 49. Pour trouver facilement le résultat, on peut remarquer que 51 = 50 + 1 et que 49 = 50 – 1, et donc utiliser une identité remarquable : (50 + 1)(50 – 1) = 50 2 – 12, nettement plus facile à calculer. (C’est 2 500 – 1 = 2 499.)
Le truc s’étend sans difficulté à n’importe quelle multiplication entre deux entiers a et b dont la différence a – b est un nombre pair (même si une adaptation est possible pour les impairs) : en notant m la moyenne des deux nombres (soit m = (a + b)/2) et d leur demi-différence (soit d = (a – b)/2) , on a a × b = (m + d )(m – d ) = m 2 – d 2.
Si, comme dans notre exemple précédent, m2 a le bon goût d’être simple à calculer et d n’est pas trop grand, alors on peut commencer par donner m2 comme première approximation, avant d’affiner en retranchant d 2. Par exemple, pour 64 × 56, on dira « attendez… c’est un petit peu moins que 3 600… » tandis qu’on effectue mentalement l’opération 3 600 – 16 = 3 584.
La tête aux carrés
Comme le suggère l’astuce ci-dessus, les carrés parfaits sont l’une des premières choses à apprendre pour le calcul mental, après les tables de multiplication. Par exemple, connaître la valeur de 632 ouvre la porte, via l’identité remarquable, au calcul rapide des multiplications de la forme (63 + b)(63 − b). Mais si notre mémoire ne va pas jusque là, comment trouver le carré d’un nombre tel que 63 ?
Une méthode bien adaptée aux nombres à deux chiffres, c’est-à-dire de la forme
n = 10a + b où a et b sont des entiers entre 0 et 9, tient à la relation algébrique suivante, facile à vérifier :
(10a + b)2 = (10a + 2b) × a × 10 + b2, que l’on gagne à présenter n2 = (n + b) × a × 10 + b2.
En pratique, pour calculer 632, on effectue alors 632 = (63 + 3) × 6 × 10 + 32. En terme de multiplication, ce dernier calcul ne demande que la multiplication par un nombre à un seul chiffre (6, celle par 10 étant triviale, et le carré de b étant facile à trouver puisque b est à un seul chiffre).
L’astuce fonctionne dans tous les cas (et peut s’adapter aux nombres à davantage de chiffres), mais lorsque le chiffre des unités est plus grand que 5 on peut l’améliorer un peu en utilisant plutôt l’égalité n2 = (n – b' ) × (a + 1) × 10 + b' 2, où b' = 10 − b.
La méthode Trachtenberg
Jakow Trachtenberg est un ingénieur juif plusieurs fois interné dans des camps de concentration pendant la Seconde Guerre mondiale. Il y inventa, pour passer le temps, une méthode de calcul mental pour des multiplications. Chacune (par 3, par 4, etc.) ayant sa règle spécifique, voyons ici le cas de la multiplication d’un nombre n par 7. On commence par adjoindre un 0 à gauche de l’écriture décimale de n, et ensuite on applique la règle : « doubler chaque chiffre, lui ajouter 5 s’il était impair, et ajouter la moitié du voisin de droite du nombre de départ (en arrondissant à la valeur inférieure, si besoin) ». Voyons l’exemple de la multiplication par 7 de 294, qu’on commence donc par écrire 0 294. On commence par doubler le 4, ce qui donne 8 comme chiffre des unités (et il n’y a pas de voisin de droite). On double ensuite le 9 et on ajoute 5 (puisque 9 est impair), puis on ajoute 4/2 = 2, ce qui donne 25 : le chiffre des dizaines est donc 5 (le 2 constituant une retenue). On effectue ensuite 2 × 2 + [9/2] + 2 (ce dernier 2 étant notre retenue) qui donne 10 : le chiffre des centaines est donc 0 (avec retenue 1). Pour finir, on applique le même traitement au 0, ce qui donne 0 × 2 + 2/2 + 1 = 2, donc le chiffre des milliers est 2. On obtient ainsi que 294 × 7 = 2 058.