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Du plan à l’espace

Deux dimensions pour le plan, trois pour l'espace. Suffit-il d'extrapoler les propriétés géométriques ou topologiques du plan à l'espace pour décrire ce nouveau monde ? Pas si simple ! Si de nombreuses similitudes existent, des différences profondes séparent les deux univers, prépondérants dans notre vie de tous les jours.
Tout d'abord, l'espace inclut le plan, et même une infinité de plans. On comprend que l'aller-retour soit difficile entre la description précise d'un objet de l'espace et sa représentation sur une feuille de papier. Des artistes et des mathématiciens s'y sont pourtant essayés en inventant la géométrie projective, une performance analytique qui a ses applications concrètes : on peut ainsi, à l'aide d'une sorte de « perspective inversée », retrouver à partir d'une photo les dimensions complètes d’un volume original, avec une marge d'erreur acceptable.

LES ARTICLES

L'espace n'est pas un bon plan

François Lavallou
L'apprentissage scolaire de la géométrie du plan initie celui de l'espace, qui en est souvent perçu comme une simple extension. Mais la troisième dimension est bien plus, et possède ses vérités propres. Voici quelques morceaux choisis parmi la géométrie et la topologie.


La perspective… à l'envers !

Jean-Louis Brahem
La perspective permet à l'architecte de figurer un édifice dans l'espace : ses plans et façades sont en 2D, l'image du projet sera en 3D. On sait construire une perspective d'après des plans. Pourquoi ne serait-il pas possible de déduire les dimensions d'un édifice d'après sa vue perspective ?


Demandez à un enfant observant une voie de chemin de fer rectiligne, en étant placé sur un pont qui l'enjambe, d'en dessiner les rails. Il y a fort à parier qu'il commencera par dessiner deux droites parallèles. Alors, les rails des trains, depuis quand se rejoignent-ils ?


Les projections centrales sont à la base de la photographie. La géométrie projective, qui les étudie, correspond donc à notre vision ou à celle de nos appareils photos, où les rails parallèles du train se rejoignent à l'horizon. Bienvenue dans un monde où deux droites se coupent toujours !


En bref : Les coniques

Hervé Lehning

Les coniques se définissent aussi bien en 2D qu'en 3D, par l'intersection d'un cône et d'un plan



En bref : Du pareil au même

Jean-Jacques Dupas et François Lavallou

En passant du plan à l'espace, un certain nombre de choses changent, comme indiqué dans l'article précédent. Mais d'autres aspects restent les mêmes, extrapolés de la dimension 2 à la dimension 3.



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